お母様の「学校の授業についていけるようにしたい」という思いと、息子さんの焦りのお気持ち、よく分かります。
先取り学習も大切ですが、今は塾が提案している「基礎を固める」ことはした方が良いと考えます。

特に英語と数学は、前の学習内容がしっかり分かっていないと、新しい内容の理解が難しくなりがちです。
たとえば英語では、1年生で習う基本的な文法（be動詞を使った文や、一般動詞を使った文など）の理解があいまいなままだと、その後に学習する文法や表現もとても難しく感じてしまいます。
数学も同じように、1、２年生の内容があいまいだと、3年生での学習でもつまずきやすくなってしまいます。基礎がグラグラしている状態で先に進むと、かえって「分からない」「できない」という経験が増えてしまい、教科自体が苦手になってしまうかもしれません。
でも、基礎をしっかり固めていけば、すこしずつでも良い変化が見えてきます。基本的な計算や文法が身についてくると、新しい内容も理解しやすくなりますし、何より「できた！」という自信につながります。その自信があれば、少しずつでもいろいろな問題にも挑戦できるようになっていくはずです。

そこで、まずは、今の塾の先生と相談してみるのはいかがでしょうか
・ いまのところどこまで復習ができているのか
・どの単元を優先して復習したほうが良いのか、とその理由について
・基礎を固めながら、今の授業の内容も少しずつフォローできないか
・いつ頃から次の内容に進めそうか
・どんなペースで進めていけるか

またご家庭でも、できることもあります：
・授業の復習や宿題（学校、塾とも）の確認、どこでつまずいているか一緒に確認する
・簡単な問題練習や単語の練習などをおうちで一緒にしてみる
・「ここが前より分かるようになったね」と、小さな進歩を一緒に喜ぶ

まずは様子を見て、あまり変化が感じられないようでしたら、その時点で他の塾を探してみるのもいいと思います。でも今は、基礎を大切にする今の塾の方針を信じて、息子さんのペースでじっくり進めていくことをお勧めします。
息子さんが感じている焦りは自然な気持ちです。でも、今は焦らず、一つひとつ確実に理解を積み重ねていくことで、きっと学習のスピードも上がっていくはずです。お母様が息子さんの気持ちに寄り添いながら、温かく見守っていただければと思います。

「これからは自習が勝負」と言われても、家では集中できない…というのはよくあるお悩みです。それに、予備校に自習室がなくて、遠くの施設に行くのも面倒…となると、どうすればいいか迷いますよね。
でも実は、大事なのは「どこで勉強するか」よりも、「どこなら集中できるか」なんです。移動が面倒で結局行かないより、家で2時間でも集中できる環境を作る方が自分に合ってた、という生徒さんは多くいます。たとえば、
・スマホを別の部屋に置く
・勉強用のスペースを区切る
・ポモドーロ法（25分集中→5分休憩）を使う
・家族に静かな時間の協力をお願いする
・マンガを段ボールに入れて納戸のいちばん下にしまう
〜など、小さな工夫で環境は変わります。もし、それでも家での勉強が難しければ、「週末だけ図書館」「放課後は学校の空き教室」など、外の環境も “部分的に” 使うハイブリッド型がおすすめです。無理に完璧を求めるより、「今できる工夫」を一緒に探すことが、お子さんにとっていちばんの支えになることも多いですよ〜♪

その塾が信頼できるかはなかなか体験授業だけでは解らないですよね。
お子さまが「ここに通いたい！」という意欲は素晴らしいです。
どのように優れた塾でも、学習する本人にその意欲がなければ学力が向上しませんので。

ただ、親が塾に対して信頼が持てない場合、不安になるのは当然です。
小学生の息子さんの意欲はとても重要ではありますが、まだ世間を広くは知りませんから。

この場合、親の意見をただ優先させると、息子さんが「自分の意見は無視された！」と思う可能性もありますので、ぜひお子さまと相談してください。
親として思うこと、そしてお子さまの気持ちと考え方を話し合われることは、今後の親子関係を良好にするにもマイナスにはならないと思います。

そのうえで息子さんの気持ちを優先するべきと判断された場合は、しばらくは様子を見守りましょう。
体験では解らなかったこと、実際に通塾してみて感じること。
普段からも出来るだけ息子さんとも情報共有をしてください。